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本书以**颁布的线性代数教学大纲和*考试中心组织编写的考研大纲为依据,内容包

括了考研数学中概率论与数理统计的全部考点和相关内容。全书各章节均按照讲、练、考(自测)的结构编

写,书中例题甄选自历年考研真题和经典题型,使学生在学习上形成一套闭环，而且

“魔研君点睛”是本书的一大特色。

本书通俗易懂、深入浅出,可作为考研高等数学的备考用书,也可作为大学数学学习的辅导用书,以及

数学爱好者的自学教材。

第1章函数、极限和连续

考研大纲要求与重点导学

必会基本内容

一、 函数

二、 极限

三、 极限的计算

四、 函数的连续性

考试题型与解析

题型一： 函数概念及其性质

题型二： 极限定义与性质

题型三： 函数极限的计算

题型四： 无穷小及无穷小等价

题型五： 数列极限的计算

题型六： 函数的连续性相关问题

自测题精选

第2章导数与微分的概念和计算

考研大纲要求与重点导学

必会基本内容

一、 概念

二、 计算

考试题型与解析

题型一： 导数与微分的定义

题型二： 导数的几何意义

题型三： 隐函数的导数计算

题型四： 反函数、参数方程所确定的函数求导

题型五： 复合函数的导数计算

题型六： 分段函数的导数计算及连续性问题

题型七： 高阶求导

自测题精选

第3章导数的应用与微分中值定理

考研大纲要求与重点导学

必会基本内容

一、 导数的应用

二、 微分中值定理

考试题型与解析

题型一： 单调性和极值

题型二： 凹凸性和拐点

题型三： 渐近线问题

题型四： 不等式证明与方程根的问题

题型五： 中值定理证明题

题型六： 曲率相关考点（数学一、数学二）

自测题精选

第4章一元函数积分学的概念与计算

考研大纲要求与重点导学

必会基本内容

一、 (不)定积分学的概念

二、 反常积分

三、 一元函数积分学的计算

考试题型与解析

题型一： 不定积分的概念和性质

题型二： 定积分的概念和性质

题型三： 不定积分的计算

题型四： 定积分的计算

题型五： 变限积分相关题型

题型六： 反常积分的计算及敛散性的判定

题型七： 积分的证明题型

自测题精选

第5章一元函数积分学的应用

考研大纲要求与重点导学

必会基本内容

一、 数学一、数学二、数学三公共部分

二、 一元函数积分学的几何应用(数学一、数学二)

三、 一元函数积分学的物理应用(数学一、数学二)

四、 一元函数积分学在经济学中的应用(数学三)

考试题型与解析

题型一： 用定积分计算平面图形的面积

题型二： 用定积分计算旋转体的体积

题型三： 弧长计算（数学一、数学二）

题型四： 旋转曲面表面积(数学一、数学二)

题型五： 平行截面面积为已知的立体体积(数学一、数学二)

题型六： 一元函数积分学的物理应用(数学一、数学二)

自测题精选

第6章多元函数微分学

考研大纲要求与重点导学

必会基本内容

一、 多元函数微分学的概念

二、 多元函数微分学的计算

三、 多元函数微分学的应用问题

四、 多元函数微分学的几何应用（数学一）

考试题型与解析

题型一： 多元函数微分学基本概念题型

题型二： 抽象复合函数的偏导数和全微分问题

题型三： 隐函数的偏导数和全微分问题

题型四： 其他偏导数和全微分问题

题型五： 普通极值问题

题型六： 条件极值（值）问题

题型七： 闭区域（边界）上的值问题

题型八： 多元函数微分学的几何应用（数学一）

自测题精选

第7章二重积分的概念和计算

考研大纲要求与重点导学

必会基本内容

一、 二重积分的概念与性质

二、 二重积分的计算

考试题型与解析

题型一： 二重积分的概念与性质相关题型

题型二： 直角坐标系下的二重积分的计算

题型三： 直角坐标系下交换积分次序

题型四： 极坐标系下的二重积分的计算

题型五： 直角坐标系与极坐标系互化

题型六： 二重积分的综合考查

自测题精选

第8章常微分方程

考研大纲要求与重点导学

必会基本内容

一、 微分方程的基本知识

二、 微分方程的解法

三、 高阶微分方程解的结构

考试题型与解析

题型一： 一阶微分方程的求解

题型二： 二阶可降阶微分方程(数学一、数学二)

题型三： 二阶常系数微分方程

题型四： 高阶线性微分方程解的结构

题型五： 已知通解反写方程

题型六： 伯努利方程(数学一)

题型七： 欧拉方程(数学一)

题型八： 积分方程问题

题型九： 微分方程的应用

自测题精选

第9章数学三专题

考研大纲要求与重点导学

必会基本内容

一、 增长函数

二、 需要研究的五个基本函数

三、 边际分析

四、 弹性分析

五、 一阶常系数差分方程

考试题型与解析

题型一： 一元函数微分学在经济学中的应用

题型二： 一元函数积分学在经济学中的应用

题型三： 多元函数微分学在经济学中的应用

题型四： 常微分方程和差分方程在经济学中的应用

题型五： 差分方程的求解

自测题精选

第10章无穷级数(数学二不要求)

考研大纲要求与重点导学

必会基本内容

一、 常数项级数

二、 幂级数

三、 傅里叶级数(数学一)

考试题型与解析

题型一： 正项级数敛散性判断

题型二、 交错级数敛散性判断

题型三： 任意项级数敛散性判断

题型四： 幂级数的收敛域(区间、点)

题型五： 幂级数求和

题型六： 常数项级数求和

题型七： 幂级数展开

题型八： 综合证明题

题型九： 傅里叶级数(数学一)

自测题精选

第11章向量代数与空间解析几何(数学一)

考研大纲要求与重点导学

必会基本内容

一、 向量代数

二、 空间解析几何

三、 空间曲面及其方程

考试题型与解析

题型一： 向量运算

题型二： 直线及平面的方程

题型三： 位置关系及距离问题

题型四： 旋转曲面问题

题型五： 投影问题

自测题精选

第12章三重积分及重积分的应用(数学一)

考研大纲要求与重点导学

必会基本内容

一、 三重积分的概念

二、 三重积分的计算

三、 重积分的应用

考试题型与解析

题型一： 直角坐标系下的三重积分的计算

题型二： 柱面坐标系下的三重积分的计算

题型三： 球面坐标计算三重积分

题型四： 重积分的应用

第13章曲线积分与曲面积分(数学一)

考研大纲要求与重点导学

必会基本内容

一、 类曲线积分(对弧长的曲线积分)

二、 第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)

三、 格林公式及其应用

四、 类曲面积分(对面积的曲面积分)

五、 第二类曲面积分(对坐标的曲面积分)

六、 高斯公式、通量与散度

七、 斯托克斯公式、环流量与旋度

考试题型与解析

题型一： 类曲线积分

题型二： 平面第二类曲线积分

题型三： 空间第二类曲线积分

题型四： 类曲面积分

题型五： 第二类曲面积分

题型六： 散度、旋度

题型七： 曲线曲面积分的应用

附录1基本初等函数性质及其图像

附录2常用三角函数公式汇总

附录3小侯七谈考研数学备考攻略

小侯七   新东方上海学校考研数学组组长，新东方武汉学校考研数学特聘顾问，魔研考研数学教研室负责人，新东方考研梦想宣讲团首席讲师，新东方有价值教师奖（MVT）中的考研数学讲师.

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第3章导数的应用与微分中值定理

考研大纲要求与重点导学

第3章导数的应用与微分中值定理

1． 本章大纲考试要求

序号

考试内容与要求适用科目

1

理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，了解并会用柯西中值定理

数学一、数学二

理解罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解泰勒定理、柯西中值定理，掌握这四个定理的简单应用

数学三

2

理解函数的极值概念，掌握用导数判定函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数值与小值求法及其应用

数学一、数学二

了解函数极值概念，掌握函数单调性判定方法，掌握函数极值、值与小值求法及其应用

数学三

3

会用导数判断函数图形的凹凸性(注： 在区间(a,b)内，设函数f(x)具有二阶导数，当f″(x)＞0时，f(x)的图形是凹的； 当f″(x)＜0时，f(x)的图形是凸的)，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线

数学一、数学二、数学三

4

了解曲率、曲率圆和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径，会描述函数的图形

数学一、数学二

会描述简单函数的图形

数学三

2． 本章概要与重点导学

本章从内容上分为导数的应用和微分中值定理两部分，其中导数的应用核心内容是“三点、两性和一线”，“三点”是指极值点、值点和拐点，“两性”只指单调性和凹凸性，“一线”指的是渐进性.微分中值定理部分核心内容是罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理以及泰勒公式.大家要有侧重地去学习，掌握好本章的核心知识点，因为本章是考研的重头戏.

必会基本内容

一、 导数的应用

1．单调性及其判定

定义： 对于任意x1,x2∈U，且x1＜x2，有f(x1)＜f(x2)，则函数f(x)在区间U上是单调增函数； 对于任意x1,x2∈U，且x1＜x2，有f(x1)＞f(x2)，则函数f(x)在区间U上是单调减函数.

判别方法： 设函数f(x)在区间(a,b)上可导，如果f′(x)＞0，则函数在该区间上单调增加； 如果f′(x)＜0，则函数在该区间上单调减少.

魔研君点睛

如果是f′(x)≥0，则是单调不减； 如果是f′(x)≤0，则是单调不增.

2． 极值及其判定

定义： 设函数f(x)在邻域U(x0)内有定义，若有f(x0)＞f(x)，则称f(x0)为f(x)的极大值，称x0为f(x)的极大值点； 若有f(x0)＜f(x)，则f(x0)为f(x)的极小值，称x0为f(x)的极小值点．

判别方法：

(1) 判定极值的充分条件： 设f(x)在点x0处连续，在去心邻域U(x0)内可导，则有

① 若在x0的左邻域内f′(x0)＞0，右邻域内f′(x0)＜0，则f(x0)为极大值；

② 若在x0的左邻域内f′(x0)＜0，右邻域内f′(x0)＞0，则f(x0)为极小值.

(2) 判定极值的第二充分条件： 设f(x)在x=x0处二阶可导，且f′(x0)=0,f″(x0)≠0，则有

① 若f″(x0)＜0，则f(x)在点x0处取得极大值；  

② 若f″(x0)＞0，则f(x)在点x0处取得极小值.

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编辑推荐

新东方考研名师团队匠心打造，考研数学魔研君一路陪伴

前言

一个出身武术世家的数学老师的数学梦

小侯七

在来到新东方做考研数学老师之前，我为人知的身份是“侯家拳传人”.我8岁开始跟随爷爷学习的侯家拳，那时学的是皮毛； 十几岁的时候拜师吉林武术名家陈国诚，系统地学习了陈式太极拳和一些刀法、剑法，算是小有成绩； 到大庆后，与东北众多武术名家亦师亦友，学到了包括太极拳、螳螂拳、查拳在内的很多拳种； 再后来到上海，更是得到了武术泰斗“神拳大龙”蔡龙云老先生的指点，将原本无标准套路的侯家拳虎搏功整理出入门三大母拳： 静山桩、虎搏缠手、川杨功.

我不仅仅是学功夫，更是热衷于传播功夫，先后成立过“中华振武会”“Tiger武学堂”等武术组织，搞国际武术文化推广.前前后后有十几个国家的留学生和访华团体，都是带着我教给他们的中国功夫回到自己的国家的.

为什么在武术界风生水起的我，突然转行到了教育行业？其实不是转行，而是“谋条生路”.振兴武术是我一生的坚持，只要我还活着，只要有机会，我就肯定会把中国的国粹推广和发扬.但同学们，追求梦想的前提是活下去，活下去就需要有经济来源.而我振兴武术略显“愚忠”，从来不收一分钱，既不收个人的学拳费，也不收组织的劳务费，除了收过上海理工大学日本文化交流中心的200元补贴外，这辈子在武术上我没赚过其余一分钱.

侯氏家族虽不敢称名门望族，但家中一直都有代代相传的家族文化，武术在我们家族是神圣的，能和我学习侯家拳，说明我们有缘分，你我是有缘人，怎么还能收费呢？不可以.可我到底该靠什么来生活？随随便便对付一份工作？那样我觉得是浪费人生.

我有三大爱好，还有三种爱吃的食物，分别是“读书、练武、做数学，牛肉、土豆、炒番茄”.读书我曾经做过“小侯七读书会”，虽然影响不大，但充满着读书人的情怀； 练武自不用多说，我骨子里都流着武术人的血液，对我来说举手投足都是练武，没真正去做的那就是做数学了.

我自小就喜欢数学，尤其高中时遇到了一位有魔力的班主任数学老师，更是让我对数学产生了浓厚的兴趣.如果说一定要让我找一个可以维持生计的工作，那我毫无疑问会选择做数学.重要的是，做数学是我的三大爱好之一，与我那充满浓浓情怀的人生规划并不矛盾.

就这样，我来到了上海新东方，一不留神在终极面试中成为了全校名，做了考研数学老师，更是一不留神还成了考研数学项目组长、考研数学教研负责人，当了“官”了.

从我做考研数学老师那天起，我给自己定了三个规矩： 踏踏实实教知识，认认真真搞教育，堂堂正正为人师.每次面对学生或者走上讲台前，我都会提醒自己，千千万万不能忘了这三个规矩.所以，在以往的教职生涯中，我敢拍着胸脯说做到了无愧于心.

在和学生的交流中，我发现很多学生的基础并不好.有些同学可能是毕业多年，早已经将数学知识还给当年的老师了； 有些同学虽在校园但前几年没有认真学数学，现在决定要考研才发现自己的数学不行.什么原因导致的数学基础不好，我并不关心，我只关心如何能把数学教好，如何能让打算考研的同学们把数学学好.

市面上考研数学的辅导书非常多，而且大多写得都不错，但我也有自己的想法，比如能不能用通俗、直白、“接地气”的语言解释数学概念，能不能有让同学们一目了然、一点即通的“点睛”部分，等等.带着这些想法，2017年愚人节，我便与我的挚友清华大学出版社汪操老师沟通，他对我的想法很支持，给出了很多建议.就这样，我开始组建团队，周洋鑫和崔原铭这两位优秀的考研数学老师走进了我的视野.

我和周洋鑫初识是在2017年9月，当时新东方教育科技集团组织教师赛课，洋鑫是数学组赛课名.他的讲课风格和对数学的理解，我非常欣赏.从那时起我们成了彼此考研数学圈好的朋友之一.深入了解后我得知，他是北京新东方的骨干名师、博士，对数学有着独特的认知.我将我的图书规划讲给他听，他非常激动，说： “侯哥，这正是我想要的考研数学辅导用书.”还记得有一天，我去北京出差，他带着我逛他博士就读的母校，边走边和我说他关于数学的梦想，以及他对爱情、事业甚至人生的规划.我静静地听着，心中却早已无法压抑那份激动，因为我觉得此人绝非等闲之辈，实乃有鸿鹄之志的“天才少年”.就这样，我正式邀请他加入我的团队，全面参与“魔研考研数学系列”的编写工作.事实证明，我的决定是正确的.

崔原铭是复旦高才生，曾经在上海新东方兼职，但由于各种原因并没有上台讲课，毕业后去了上汽通用汽车有限公司工作.在我刚刚担任考研数学项目组长的时候，他就特别积极地联系我，说要重回新东方，实现自己的数学梦.当时我由于课程任务重，管理工作繁忙，所以并没有“搭理”他.但他特别执着，一定坚持要见我，于是我就约他来了上海新东方总部.还记得那是2017年10月的一个下午，我俩在上海新东方总部咖啡吧次见面，在接下来的沟通中，我发现他竟然也是个数学天才，2017年我接触的全国考研数学老师数以百计，新东方数学团队也有七八十人，让我“心动”的除了洋鑫，就是原铭了.还记得在上海南路一家餐厅用餐时，他说： “侯哥，数学并不枯燥，是讲课人的方法太枯燥； 数学可以很通俗易懂，是易懂的书太少.就像做菜一样，材料都相同，要有一个好厨师调配.”后来，他正式加入到新东方考研数学的大家庭，其超强的能力也得到了其他同事的认可.再后来，我又把他拉进“魔研考研数学系列”的编写团队.

我们三人的合作非常愉快，三本书我们都有参与，但根据各自的擅长，每本书每人负责若干章节.在很多人眼里，写这种辅导用书，不就是“复制”和“粘贴”吗？但看拳和打拳真不一样，我们对每个概念都会选自己认为恰当的描述方式，对每一道题的选取都精挑细琢、深思熟虑，并且在课堂上通过学生检验.

让我感动的是2018年除夕夜，当晚10点左右，在安徽泾县“娘家”过年的我刚刚陪完亲戚，打算拿出电脑和一堆材料开始整理书稿的时候，突然洋鑫来电，他略带疲惫地问： “侯哥在干嘛？”

我打了个哈欠说： “酒也喝了，鞭炮也放了，饺子也包了，该写写书、做做题了.”

洋鑫一下子兴奋起来，说： “我也正打算写书稿， 要不我们一起？”

因为对数学知识点的认识需要全面和准确，所以我们三人经常讨论，因此常常会保持语音通话的状态一起写书.

我说： “不知道原铭有没有空.”

洋鑫说： “是他打电话告诉我，他要写书稿，恰好我也有此意，才给你打的电话.”

那一瞬间我感动了.两个兄弟都这么努力，我这当大哥的还能掉队吗？必须写起来！

……

我要感谢上海新东方王洛老师、新东方集团张伟老师、清华大学出版社汪操老师，还要感谢我的助理老师们，在我因工作量大而无法分身时，他们帮我梳理了部分基础性材料，花费了大量心血.后，感谢新东方教育科技集团和清华大学出版社的大力支持，是你们让“魔研考研数学系列”有了诞生的可能.

总体来说，《魔研考研数学之高等数学》《魔研考研数学之线性代数》和《魔研考研数学之概率论与数理统计》是我和洋鑫还有原铭倾尽心血完成的三本书，但由于能力有限、时间仓促，在编写过程中难免有不足之处，请读者、同行以及专家朋友们多多提出宝贵意见，我们愿意积极改正并同步提高.

小侯七敬上.

新浪微博： 小侯七