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著名数学特级教师王志江根据多年的教学实践和扎实的理论研究，结合培训教师的经验，根据认知发生学，深入分析儿童心理发展过程，设计了基于儿童认知发展水平的数学教学课程。本书是其四年级下学期分册，由王志江老师围绕“四则运算和运算定律”“观察物体（二）”“小数的意义和性质”“三角形”“小数的加法和减法”“图形的运动（二）”“小数的初步认识”这六大核心数学观念，进行课程解读与设置，并附有贞元教育小学数学首席教师宋亚男执教的课堂实录，生动地展现了如何让四年级学生通过操作活动、游戏体验、课堂对话等，培养起数学观念，掌握基础数学知识，快乐地学习数学。

本书具有很强的操作性和实用性，适合数学教师、师范大学数学系的学生阅读，也适合广大家长以及所有对基础数学教育感兴趣的有识之士阅读。

“玩游戏，学数学”系列丛书可作为深入浅出的数学教师培训教材。　　

001 /  序言

001 /  自序

001 /  前言

第一章 四则运算和运算定律

002 /  第一节  儿童怎样建构生成四则运算和运算定律观念

002 /  一、儿童已有的四则运算和运算定律观念具有怎样的发展水平

008 /  二、儿童已有的四则运算和运算定律观念在日常生活中表现出怎样的特征

009 /  三、儿童已有的四则运算和运算定律观念可能与哪些新问

题产生认知冲突

009 /  四、如何协助儿童化解可能遇到的认知冲突

015 /  五、认知冲突化解以后，儿童的日常生活与后续学习会发生什么变化

016 /  第二节  四则运算和运算定律单元课堂实录

016 /  第一阶段——加减乘除的运算本质

022 /  第二阶段——加法运算与减法运算的运算定律

028 /  第三阶段——乘法运算与除法运算的运算定律

034 /  第四阶段——括号

034 /  第五阶段——运算定律的灵活运用及实际问题的化解 

第二章  观察物体（二）

036 /  第一节  儿童怎样建构生成三视图观念

036 /  一、儿童已有的三视图观念具有怎样的发展水平

044 /  二、儿童已有的三视图观念在日常生活中表现出怎样的特征

045 /  三、儿童脑海中已有的三视图观念可能与哪些新问题产生认知冲突

046 /  四、如何协助儿童化解可能遇到的认知冲突

050 /  五、认知冲突化解以后，儿童的日常生活与后续发展将会发生什么变化

050 /  第二节  观察物体（二）单元课堂实录

第三章  小数的意义和性质

052 /  第一节  儿童怎样建构生成小数观念

052 /  一、儿童已有的小数观念具有怎样的发展水平

058 /  二、儿童已有的小数观念在日常生活中表现出怎样的特征

059 /  三、儿童已有的小数观念可能与哪些新问题产生认知冲突

060 /  四、如何协助儿童化解可能的认知冲突

069 /  五、认知冲突化解以后，儿童的日常生活与后续学习将会发生什么变化

070 /  第二节  小数的意义和性质单元课堂实录

070 /  第一阶段——小数的诞生

076 /  第二阶段——小数的读与写

082 /  第三阶段——小数的比大小（1）小数的性质

088 /  第四阶段——小数的比大小（2）小数点的移动

093 /  第五阶段——小数的实际应用（1）单位换算

099 /  第六阶段——小数的实际应用（2）近似数

第四章  三角形

108 /  第一节  儿童怎样建构生成三角形观念

108 /  一、儿童已有的三角形观念具有怎样的发展水平

116 /  二、儿童已有的三角形观念在日常生活中表现出怎样的特征

117 /  三、儿童已有的三角形观念可能与哪些新问题产生认知冲突

118 /  四、如何协助儿童化解可能遇到的认知冲突

125 /  五、认知冲突化解以后，儿童的日常生活与后续学习会发生什么变化

126 /  第二节  三角形单元课堂实录

126 /  第一阶段——三角形

135 /  第二阶段——三角形的分类

142 /  第三阶段——三角形的性质（1）

152 /  第四阶段——三角形的性质（2）

153 /  第五阶段——四边形的内角和

163 /  第六阶段——思维导图

第五章  小数的加法和减法

180 /  第一节  儿童怎样建构生成小数加法与减法观念

180 /  一、儿童已有的小数加法与减法观念具有怎样的发展水平

189 /  二、儿童已有的小数加法与减法观念在日常生活中表现出怎样的特征

189 /  三、儿童已有的小数加法与减法观念可能与哪些新问题产生认知冲突

190 /  四、如何协助儿童化解可能遇到的认知冲突

193 /  五、认知冲突化解以后，儿童的日常生活与后续学习会发生什么变化

194 /  第二节  小数加法和减法单元课堂实录

194 /  第一阶段——拆数游戏

205 /  第二阶段——小数加减法

213 /  第三阶段——小数加减法混合运算

219 /  第四阶段——思维导图

第六章  图形的运动（二）

226 /  第一节  儿童怎样建构生成图形运动观念

226 /  一、儿童已有的图形运动观念具有怎样的发展水平

233 /  二、儿童已有的图形运动观念在日常生活中具有怎样的特征

233 /  三、儿童已有的图形运动观念可能与哪些新问题产生认知冲突

234 /  四、如何协助儿童化解可能遇到的认知冲突

239 /  五、认知冲突化解以后，儿童的日常生活与后续学习会发生什么变化

240 /  第二节  图形运动（二）单元课堂实录

240 /  第一阶段——图形运动

253 /  第二阶段——轴对称图形

266 /  第三阶段——平移

王志江，贞元教育创始人，贞元新教育K12卓越课程系统总设计。北京市中学数学特级教师。曾任北京市市级示范学校校长痴迷教育，勇于创新。

在《数学通报》《中学数学教学参考》《数学通讯》《中学数学》《北京教育》《中小学管理》等国内核心报刊上发表教育教学论文50余篇，曾著有《寻找生命的枝枝蔓蔓》《七步研课法与三对话课堂》《重新理解教育》（合著）等。与宋亚男、赵俊杰合著“玩游戏，学数学”系列丛书。

宋亚男，贞元新教育K12卓越课程（小学数学）联合开发者，贞元教育小学数学首席教师，开封市贞元学校小学数学教师。与王志江合著“玩游戏，学数学”系列丛书（小学阶段）。

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前  言

《玩游戏，学数学·四年级（下）》由宋亚男老师和我共同完成。我负责 课程解读和课程设置部分，宋老师负责课程实施和课堂实录部分。

我们使用的教材是人民教育出版社的版本（通常所说的“人教版”），不过，由于我们严格遵循“用教材教，而不是教教材”的总原则，所以，不同版本的异同问题几乎可以忽略不计。与其他学科相比，数学具有高度形式化和逻辑化的特征，所以，从简单到复杂的基础数学知识体系总是以文化的形态客观存在着，这就使得表面上形形色色的版本大同小异。在我们看来，对于基础数学教育工作者而言，把客观的数学知识系统梳理清楚，仅仅是一个小小的前提条件。我们必须真正搞清楚的是：一旦进入学习（或教育）状态，儿童脑海中相关的已有经验是什么？这些经验具有怎样的发展水平？这些经验在儿童的日常生活中得到了怎样的应用？一旦遭遇新的刺激（所谓新的学习内容或新问题），儿童会产生怎样的认知冲突？哪些问题可以被儿童直接消化吸收，并纳入原有的经验系统；哪些问题是真正的新问题——儿童必须调整改变自己的已有认知系统才有可能加以解决？怎样的学习历程可以有效协助儿童化解他们所遇到的认知冲突？在这个过程中，儿童和教师将以怎样的身份和 途径参与其中？一旦认知冲突得以解决，儿童解决生活难题的能力将有怎样的改变？在朝向未来的学习活动中，儿童将具有怎样的新的可能性？……

基于以上思考，我们依据数学发生学的基本原理，确定了“四则运算和运算定律”“观察物体（二）”“小数的意义和性质”“三角形”“小数的加法和减法”“图形的运动（二）”六大核心观念；然后，针对每一个观念追问并阐释 以下五个问题：

（1）儿童已有观念具有怎样的发展水平？

（2）儿童已有观念在日常生活中具有怎样的特征？

（3）儿童已有观念可能与哪些新问题产生认知冲突？

（4）如何协助儿童化解可能遇到的认知冲突？

（5）认知冲突化解以后，儿童的日常生活与后续学习会发生什么变化？

在尝试回答以上五个核心问题的基础上，我完成了课程解读和课程设置部分，结合宋亚男老师在富有创意的实践后所完成的课堂实录，《玩游戏，学数学·四年级（下）》顺利诞生了！

“玩游戏，学数学”系列丛书具有共同的发生学特征，这使得本书不仅适合数学教师和学生家长等所有对基础教育感兴趣的有识之士阅读，也完全适合师范大学数学系的学生。不过，需要特别说明的是，本书不同于儿童数学科普读物，所以，它一般不太适合低龄儿童自读；但是，在父母或老师的陪伴下，亲子共读是完全可行的。

最后，感谢漓江出版社的文龙玉老师和其他编辑老师，没有老师们的大力支持和辛勤劳作，四年级下学期分册根本不可能在如此之短的时间内与读者见面。在此，请允许我向老师们表达最诚挚的谢意！

不无遗憾的是，本书可能有不少错漏之处，恳请各位方家批评指正。

王志江

2021年11月17日

瀚：80 颗糖平均分给 8 个人，这 8 个人再把自己的糖平均分给 2 个人，怎么列算式？

生们：80÷8÷2。

瀚：相当于我把 80 颗糖最终平均分成了多少份呢？

生们：8×2=16 份。

师：还有不同的解释方法吗？

舒：我用 20 元买了 2 箱苹果，每箱里有 5 个苹果，每个苹果多少元？

旭：20÷2÷5。

睿：20÷2 求的是一箱苹果多少元，而每箱苹果有 5 个，所以再除以 5 就

是每个苹果的价钱。

师：还可以怎么计算？

烨：20÷（2×5）。有 2 箱苹果，每箱有 5 个，一共有 2×5 个苹果，20除以 10 就是一个苹果的价钱。

旭：这个算式还可以这样计算，20÷5÷2。

师：所以 a÷b÷c 对应哪些算式？

生们：a÷b÷c=a÷c÷b=a÷（b×c）。

师：这个规律叫什么呢？

瀚：除法的添括号与去括号法则（除法的性质），这个等式反过来也成立，a÷（b×c）= a÷b÷c。

师：这里的 a、b、c 可以是什么数？

生们：可以是自然数、小数和分数。

优：b 和 c 有限制，不能为 0，因为它们都是除数。

师：a 可以为 0 吗？

优：a 可以为 0，因为被除数可以为0。

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六大核心数学观念，阶段递进式教学方法，数学可以这么教！

生动有趣的数学课堂，科学好玩的数学游戏，让孩子爱上数学！

数学特级教师告诉你，数学可以这么教，游戏可以这样玩！

“四则运算和运算定律”“观察物体（二）”

“小数的意义和性质”“三角形”“小数的加法和减法”

“图形的运动（二）”“小数的初步认识”

1.新教育特级教师王志江的基础数学教育方法创新之作，新教育K12卓越课程，贞元教育小学数学首席教师宋亚男执教课堂实录。

2.从四年级儿童心理发展去实施数学教育，真正按照四年级儿童的发展阶段去教授数学。

3.按照小学四年级下学期数学课程，围绕“四则运算和运算定律”“观察物体（二）”“小数的意义和性质”“三角形”“小数的加法和减法”“图形的运动（二）”“小数的初步认识”这六大核心数学观念，用几十个数学游戏进行教学，并附有详细课程实录，告诉读者如何教，怎么学。

媒体评论

“玩游戏，学数学”这套系列丛书，内容涵盖从幼儿园到高中整个基础教育阶段，每个年级又分为上、下两册，既有理论建构，又有操作实践，引导儿童“发明数学、创造数学，像数学家一样研究数学”。儿童既能体验到因挑战成功油然而生的满满的自豪感、成就感，又能获得优异的考试成绩，对于广受诟病的“机械灌输加题海战术”式的传统数学教育是一次根本性的变革。

——新教育实验发起人  朱永新

低龄儿童是借助“动作”来“思维”的，这就是为什么在“玩游戏，学数学”这套书中会有大量动作游戏的原因。随着年级升高，儿童积累的动作经验越来越丰富，他们的思维工具也越来越强大，一步步减少对动作和感官的依赖，走向更加抽象的数学思维游戏，走进另一个不同于现实世界的数学王国。

——作者  王志江

在儿童眼中，学习与游戏并无区别，儿童利用游戏来学习包括数学在内的各种事物。遗憾的是，我们的教学从儿童学习数学的第一天起就在用规范训练，标准答案，测试考核不断地扼杀着孩子们的好奇心和探索欲望，就此数学与游戏再无任何联系。是数学错了？还是我们错了？带着这样的疑问，我与江子校长及其团队所共创的“玩游戏，学数学”系列丛书相遇，并执行其课程有三年之久，在教室里我收获了无数次孩子们的欢声笑语。这套丛书不仅仅是在引导儿童像数学家一样去发明数学，创造数学，玩转数学，更是在帮助数学老师——我自己，唤醒尘封已久的好奇心与探索欲，重新看待数学，将课堂活成数学本应该有的样子，体会到数学老师独有的职业幸福！

——作者  宋亚男 

是这样一本书，打破了我们这些工作在一线的教师的教育旧观念，让我们重新审视自己的教学方式，重新思考作为一名合格的教师应该怎样去引导孩子更好地学习。

——读者  王萌

王志江老师采取的是启发式的教学，孩子带着问题学，老师带着问题教，对孩子学习数学真的很有帮助，书内能充分调动孩子的学习主动性和学习兴趣，又不是题海战术，这样的数学课，那个孩子会不喜欢呢？这样的教法，每个孩子都能津津有味学数学。

——读者

书籍介绍

著名数学特级教师王志江根据多年的教学实践和扎实的理论研究，结合培训教师的经验，根据认知发生学，深入分析儿童心理发展过程，设计了基于儿童认知发展水平的数学教学课程。本书是其四年级下学期分册，由王志江老师围绕“四则运算和运算定律”“观察物体（二）”“小数的意义和性质”“三角形”“小数的加法和减法”“图形的运动（二）”“小数的初步认识”这六大核心数学观念，进行课程解读与设置，并附有贞元教育小学数学首席教师宋亚男执教的课堂实录，生动地展现了如何让四年级学生通过操作活动、游戏体验、课堂对话等，培养起数学观念，掌握基础数学知识，快乐地学习数学。 本书具有很强的操作性和实用性，适合数学教师、师范大学数学系的学生阅读，也适合广大家长以及所有对基础数学教育感兴趣的有识之士阅读。 “玩游戏，学数学”系列丛书可作为深入浅出的数学教师培训教材。